1. Основные Формулы Тригонометрии
2. Тригонометрический Формулы Шпаргалка Круг
3. Тригонометрические Преобразования

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ? Сегодня я научу тебя делать универсальную шпаргалку по тригонометрии. Она называется Тригонометрическая окружность. Ты только оцени преимущества. Все, что тебе надо знать:.

Что такое (острого угла в прямоугольном треугольнике). А что же ты получаешь взамен?. Обобщение всех тригонометрических функций на произвольные (абсолютно произвольные!) положительные углы (отрицательные – во второй части статьи). Градусная и радианная меры углов, связь между ними. Знаки тригонометрических функций для всех углов по четвертям. Способ вычисления значений тригонометрических функций (не нужно помнить никаких таблиц, вообще никаких!) Тебе не кажется, что, приложив совсем немного своих знаний, ты приобретешь огромное количество новых умений?

Самое главное: если ты поймешь, что же такое эта самая тригонометрическая окружность и с чем ее едят, то вся дальнейшая тригонометрия тебе покажется не более чем легкой прогулкой. Открою секрет: с помощью окружности даже можно решать уравнения и неравенства!

Тригонометрические формулы шпаргалка 10 класс. Все основные формулы для подготовки к ЕГЭ.

Кстати, если тебе нужна эта статья в формате PDF. Итак, давай приступим.

Как я уже говорил, все, что тебе нужно знать – это что такое синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Да, и теорему Пифагора тоже (куда уж нам без нее). Вот картинка, которая кратко напомнит тебе, что такое эти синусы, косинусы и т. Также давай вспомним основные соотношения между синусами, косинусами, тангенсами одного и второго острых углов прямоугольного треугольника: То есть: синус одного острого угла равен косинусу другого (и наоборот), тангенс одного острого угла равен котангенсу другого (и наоборот). Данные утверждения были доказаны в других статьях. Мы же здесь с тобой уже будем почивать на лаврах, пожиная эти плоды.

Тригонометрическая окружность и ее построение А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность. Ну да ладно, задачка не самая сложная. Теперь ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду! А что пока делать тебе? А вот что: Проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом.

И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности. У меня получилось что-то вроде вот этого. Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые и и точку пересечения через, а что такое в таком случае?

Это радиус нашей окружности. Как называлась наша тема? Единичная окружность. Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!),. А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства. Теперь отмечаем:. Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что: мы поместили нашу окружность в систему координат, сделав центр окружности началом координат! Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения.

Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке! Перегнать фигуру в цифры, каково,? Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат? Вот они: Эти точки имеют координаты:;;;. Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость? Они называются координатные четверти.

• May 24, 2012 - Геометрическая прогрессия; Знаки тригонометрических функций в четвертях тригонометрического круга; Формулы привидения; Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов от 0 до 2П; Тригонометрические тождества; Тригонометрические формулы двойных углов.
• Сегодня я научу тебя делать универсальную шпаргалку.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки: Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки: 1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть (Прямо как четверти в школе!). Углы на тригонометрической окружности Теперь давай сделаем еще вот. Снова посмотрим на предыдущую картинку. Чему на ней равен? Также, как и, как и угол, и угол.

Тогда чему равна их сумма? Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком! Градусная мера окружности равна! Что еще можно вытянуть?

А вот что: Отметим эти значения также на нашей окружности: Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку: Где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» с цифрами. В чем же тут дело, кто прав и кто виноват? Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы. Через градусы. Через радианы Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно.

Однако, в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. Д.) а именно, через радианы. Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение: И все, больше знать ничего не надо! По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу: И наоборот: от радиан к градусам: Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи. Потренируйся на следующих примерах:. Перевести угол в градусов в радианы.

Перевести угол радиан в градусы. Перевести угол в градусов в радианы. Перевести угол в радиан в градусы. Перевести угол в градусов в радианы.

Перевести угол в радиан в градусы. Перевести угол в градусов в радианы Я сделаю только первые два:., тогда угол в градусов равен углу в радиан., тогда угол в радиан равен углу в градусов Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице: Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Подведем предварительные, но очень важные итоги:. В первой четверти лежат углы от до градусов (от до радиан). Во второй четверти лежат углы от до градусов (от до радиан). В третьей четверти лежат углы от до градусов (от до радиан).

Основные Формулы Тригонометрии

В четвертой четверти лежат углы от до градусов (от до радиан) Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности Но мы с тобой итак слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться! Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник. Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность? Его гипотенуза должна быть не более единицы.

Пусть же она у нас в точности будет равна единице. Совместим мы их вот так: Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной.

Это так потому, что окружность-то у меня единичная! Тогда по определению синуса и косинуса: А что же такое отрезки? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности. Обозначим эту точку через. Пусть имеет координаты. Тогда длина отрезка равна, а длина отрезка –равна. Но мы с тобой помним, что, тогда: Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили. Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?. Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла. Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью. Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла.

Её «игрековая» координата – это синус нашего угла Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще!

Допустим, мы хотим найти синус, косинус градусов. Отмечаем градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше). Да очень просто: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса). Так как гипотенуза равна, то противолежащий ей катет равен, откуда: Что касается косинуса: для этого нам потребуется заметить, что выполняется тривиальное утверждение (основное тригонометрическое тождество): Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора! Наши катеты в треугольничке равны и, которые в свою очередь совпадают.

Гипотенуза в треугольнике равна. Тогда: или, что то же самое, Эта формула позволит по известному синусу вычислить неизвестный косинус и наоборот. В частности, если: и, то Теперь нужно выбрать знак. Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс». Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: и Можно схитрить: в частности для угла в градусов.

Драйвера, Toolbox 4.9.1.1.mf14, ОС WinXP SP3. Интересует именно прямое сканирование. Драйвера на canon mf4780w. Установлены последние англ. Canon MF 4780w подключен по сети, IP прописан вручную, печать работает.

Так как если один угол прямоугольного треугольника равен градусам, то второй – градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы: Тогда так как,. C градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен градусам, то и другой тоже равен градусам, а значит такой треугольник равнобедренный. Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус. Тогда: Откуда: Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в градусов и градусов.

Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские! У тебя должно было получиться:,. Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:, Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Тригонометрический Формулы Шпаргалка Круг

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу: Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти. Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!).

Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса градусов. Это неспроста! В частности: Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены! Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол.

Я рассмотрю здесь два случая:. Угол лежит в пределах от до градусов. Угол больше градусов Вообще говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим в другой статье.

Вначале остановимся на первом случае. Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали. Теперь же пусть наш угол больше градусов и не больше чем. Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же! Давай рассмотрим вместо вот такого случая Вот такой: То есть рассмотрим угол, лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки, которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты. Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен! Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. Кстати, подумай, у каких углов косинус равен?

А у каких равен синус? Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!). Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой. Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей. Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок.

Все, что тебе нужно знать:. Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус.

Котангенс – это косинус деленный на синус Давай мы с тобой немного потренируемся. Совсем простые задачки: Выяснить, какой знак имеют следующие величины:. Проверим?. градусов – это угол, больший и меньший, а значит лежит в 3 четверти.

Нарисуй любой угол в 3 четверти и посмотри, какой у него игрек. Он окажется отрицательным. Градусов – угол 2 четверти. Синус там положительный, а косинус – отрицательный.

Плюс делить на минус – будет минус. Градусов – угол, больший и меньший. Значит, он лежит в 4 четверти. У любого угла четвертой четверти «икс» будет положительным, значит. C радианами работаем аналогично: это угол второй четверти (так как.

Тригонометрические Преобразования

Синус второй четверти положительный., это угол четвертой четверти. Там косинус положительный. – угол снова четвертой четверти. Там косинус положительный, а синус – отрицательный.

Тогда тангенс будет меньше нуля: Быть может, тебе сложно определять четверти по радианам. В таком случае, ты всегда можешь перейти к градусам.

Ответ, разумеется, будет точно таким же. Теперь я хотел бы очень кратко остановиться вот еще на каком моменте.

Давай снова вспомним основное тригонометрическое тождество. Как я уже говорил, из него мы можем выразить синус через косинус или наоборот: На выбор знака же будет влиять только та четверть, в которой находится наш угол альфа. На последние две формулы существует масса задач в ЕГЭ, например, вот таких: Задача Най­ди­те,. На самом деле, это задача на четверть! Смотри, как она решается: Решение: Так как, то подставим сюда значение, тогда.

Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол.

По условию задачи:. Какая это четверть? Каков знак косинуса в четвертой четверти? Косинус в четвертой четверти положительный. Тогда и нам остается выбрать знак «плюс» перед., тогда. Я не буду сейчас подробно останавливаться на таких задачах, их подробный разбор ты можешь найти в статье «». Я лишь хотел указать тебе на важность того, какой знак принимает та или иная тригонометрическая функция в зависимости от четверти.

Это позволяет нам выполнять в кратчайшие сроки даже самые крупные заказы. Плакаты вс рф. Компания «ВРС» на протяжении более 12 лет является лидером в области разработки и изготовлении широкоформатных плакатов и стендов для наглядного оформления различных объектов учебно-материальной базы Вооруженных Сил России, МЧС, МВД, ВВ, а также образовательных учреждений. Компания «ВРС» располагает крупнейшим в России парком машин по производству плакатов для наружной и интерьерной рекламы.

Углы больше градусов Последнее, что я бы хотел отметить в этой статье – это как быть с углами, большими чем градусов? Что это такое и с чем это можно есть, чтобы не подавиться? Возьму, я скажем, угол в градусов ( радиан) и пойду от него против часовой стрелки На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность. Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг ( градусов или радиан)? Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла: Взяв произвольный угол и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол. Что же нам это даст? А вот что: если, то, откуда окончательно получим: Для любого целого. Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом. Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например: Найти знак:, Проверяем:. В градусов умещается раза по градусов ( градусов): осталось градусов. Это угол 4 четверти. Там синус отрицательный, значит. Это угол 3 четверти. Там косинус отрицательный. Так как, то - угол первой четверти.

Там косинус положителен. Тогда cos. Так как, то наш угол лежит во второй четверти, где синус положительный. Аналогичным образом мы можем поступать для тангенса и котангенса. Однако на самом деле с ними еще проще: они также являются периодическими функциями, только вот период у них в 2 раза меньше: Итак, ты понял что такое тригонометрическая окружность и для чего она нужна.

Но у нас осталось еще очень много вопросов:. А что такое отрицательные углы?.

Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях (неужто надо зубрить таблицу?!). Как с помощью круга упрощать решения тригонометрических уравнений? На всем этом я не остановился здесь с вполне корыстной целью. Я хочу, чтобы ты прочитал и другие статьи, посвященные тригонометрическому кругу.

Так что мы с тобой не прощаемся! Лучшие ресурсы на тему 'Тригонометрическая окружность'. Если ты привык воспринимать информацию визуально, вот тебе прекрасное видео. 6 минут твоего времени и ты сможешь решать многие задачи гораздо быстрее и без ошибок!. Если ты все пропустил или ничего не понял в школе по этой теме, вот тебе 3 видео от Андрея Андреевича. Более подробно, чем у Анны Георгиевны: 13 минут. Но посмотри на благодарные комментарии тех, кто учился по этому видео и ты все поймешь.

Продолжение темы от Андрея Андреевича. И еще продолжение от Андрея Андреевича. Подведение итогов:.

Ты научился делать универсальную шпору по тригонометрии. Ты научился решать задачи намного легче и быстрее и, самое главное, без ошибок. Ты понял, что тебе не надо зубрить никакие таблицы и вообще мало что нужно зубрить! Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!. Что тебе понравилось?

Что не понравилось?. Может быть ты нашел ошибку?.

Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку. А здесь ты можешь скачать весь текст 'Тригонометрическая окружность. Начальный уровень' в pdf формате. Политика конфиденциальности Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас.

По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Сбор и использование персональной информации Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:. Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д. Как мы используем вашу персональную информацию:. Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.

Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений. Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.

Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами. Раскрытие информации третьим лицам Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:. В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях. В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику. Защита персональной информации Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.